Як вивчити формули скороченого множення назавжди? Легко! Потрібно лише їх зрозуміти та зробити, якомога більше прикладів.
Зрозуміти, що й звідки береться допоможе трикутник Паскаля, який нажаль не пояснюють в школі при вивченні цієї теми.
Що ж це таке? Це трикутник, який складається з коефіцієнтів (a+b)n , n- це будь-який степінь дужки.
Розкладемо наприклад, (a+b)3:
(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+ab+ba+b2)(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)= a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3= a3+3a2b+3ab2+b3.
Виглядає страшно, та й проводити таке множення кожного разу не найкраща ідея.
І так, почнімо з коефіцієнтів. Не потрібно їх запам’ятовувати! На чернетці чи полях зошита малюємо трикутник Паскаля і коефіцієнти вже перед нами. Почнемо малювати з трьох одиничок.
Першу одиничку вважаємо нульовою, тому починаємо дивитись зразу на другий рядок і назвемо його першим. Щоб отримати другий рядок по краях дописуємо одиниці, а по центру записуємо число, яке утворилось в результаті додавання двох чисел, що стоять над ним.
Запишемо третій рядок: знову по краях пишемо одиниці, а щоб отримати наступне число додаймо числа, що стоять на ним.
Як ви вже й догадались, ми отримали коефіцієнти нашої формули.
Ось ми і отримали коефіцієнти наших формул. Тепер розберімось зі степенями. Степінь першого доданка, в нашому випадку a у формулі (a+b)3 спадають. Тобто, спочатку ми маємо а3, далі а2, а1 і в останньому доданку а немає, тому а0. Степені b, навпаки зростають: b0, b1, b2, b3.
А що ж робити коли в нашій формулі стоїть мінус між доданками? Все ще легше! Перший знак- такий самий як і в нашому двочлені ( розкладаємо суму – значить плюс, розкладаємо різницю – значить мінус), а далі знаки чергуються.
Декілька вправ для закріплення матеріалу.
- (x+1)2=x2+2•x•1+12=x2+2x+1
- (2x-3y)2=(2x)2-2•2x•3y+(3y)2=4x2-12xy+9y2
- (x2-3y)2=(x2)2-2•x2•3y+(3y)2=x4-6x2y+9y2
- 100-20c+c2
- (1/16)x8-2x4y3+16y6
Яке число при піднесенні множенні саме на себе дає 100? Тут легко, адже при множенні будь-якого числа на 10, ми просто дописуємо 0, отже в нашому випадку 10•10=100. Йдемо далі, дивимось зразу на останній доданок с2, очевидно, що с•с=с2. Перевіримо другий доданок – це має бути добуток першого й останнього помноженого на 2; 20с=2•10•с.
100-20c+c2 = 102-2•10•с+с2=(10-с)2
1/16 = (1/4)•(1/4), 16=4•4
В цьому многочлені немає змінної в 2 степені, що робить задачу важчою. Та в математиці все що страшно виглядає дуже просто робиться. Все що потрібно зробити це степені крайніх доданків поділити на 2, Так ми отримаємо: x8=x4, y6=y3
(1/16)x8-2x4y3+16y6=( (1/4)x4)2-2•x4•y3+(4y3)2=( (1/4)x4-4y3)2.
