Як вивчити формули скороченого множення назавжди?

Як вивчити формули скороченого множення назавжди? Легко! Потрібно лише їх зрозуміти та зробити, якомога більше прикладів.

Зрозуміти, що й звідки береться допоможе трикутник Паскаля, який нажаль не пояснюють в школі при вивченні цієї теми.

Що ж це таке? Це трикутник, який складається з коефіцієнтів (a+b)ⁿ , n- це будь-який степінь дужки.

Розкладемо наприклад, (a+b)³:

(a+b)³=(a+b)(a+b)(a+b)=(a²+ab+ba+b²)(a+b)=(a²+2ab+b²)(a+b)= a³+a²b+2a²b+2ab²+ab²+b³= a³+3a²b+3ab²+b³.

Виглядає страшно, та й проводити таке множення кожного разу не найкраща ідея.

І так, почнімо з коефіцієнтів. Не потрібно їх запам’ятовувати! На чернетці чи полях зошита малюємо трикутник Паскаля і коефіцієнти вже перед нами. Почнемо малювати з трьох одиничок.

Першу одиничку вважаємо нульовою, тому починаємо дивитись зразу на другий рядок і назвемо його першим. Щоб отримати другий рядок по краях дописуємо одиниці, а по центру записуємо число, яке утворилось в результаті додавання двох чисел, що стоять над ним.

Запишемо третій рядок: знову по краях пишемо одиниці, а щоб отримати наступне число додаймо числа, що стоять на ним.

Як ви вже й догадались, ми отримали коефіцієнти нашої формули.

Ось ми і отримали коефіцієнти наших формул. Тепер розберімось зі степенями. Степінь першого доданка, в нашому випадку a у формулі (a+b)³ спадають. Тобто, спочатку ми маємо а³, далі а², а¹ і в останньому доданку а немає, тому а⁰.

Степені b, навпаки зростають: b⁰, b¹, b², b³.

А що ж робити коли в нашій формулі стоїть мінус між доданками? Все ще легше! Перший знак- такий самий як і в нашому двочлені ( розкладаємо суму – значить плюс, розкладаємо різницю – значить мінус), а далі знаки чергуються.

Декілька вправ для закріплення матеріалу.

1. (x+1)²=x²+2•x•1+1²=x²+2x+1
2. (2x-3y)²=(2x)²-2•2x•3y+(3y)²=4x²-12xy+9y²
3. (x²-3y)²=(x²)²-2•x²•3y+(3y)²=x⁴-6x²y+9y²
4. 100-20c+c²

Яке число при піднесенні множенні саме на себе дає 100? Тут легко, адже при множенні будь-якого числа на 10, ми просто дописуємо 0, отже в нашому випадку 10•10=100. Йдемо далі, дивимось зразу на останній доданок с², очевидно, що с•с=с². Перевіримо другий доданок – це має бути добуток першого й останнього помноженого на 2; 20с=2•10•с.

100-20c+c² = 10²-2•10•с+с²=(10-с)²

5. (1/16)x⁸-2x⁴y³+16y⁶

1/16 = (1/4)•(1/4), 16=4•4

В цьому многочлені немає змінної в 2 степені, що робить задачу важчою. Та в математиці все що страшно виглядає дуже просто робиться. Все що потрібно зробити це степені крайніх доданків поділити на 2, Так ми отримаємо: x⁸=x⁴, y⁶=y³

(1/16)x⁸-2x⁴y³+16y⁶=( (1/4)x⁴)²-2•x⁴•y³+(4y³)²=( (1/4)x⁴-4y³)².